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对于与源位置的距离呈反比的位势

其球多极展开所得到的系数称为,球多极矩,例如,电势,磁向量势,重力势等等,都是这种位势,点电荷案例,给予在源位置,的电荷分布,计算在场位置,产生的电势,源位置为,的点电荷,其电势,在场位置,其中,是电常数,之间的夹角,假设,场位置比源位置离原点更远,则此距离倒数函数,的幂和勒壤得多项式展开为,应用球余弦定律,表示为,应用球谐函数加法定理,又表示为,其中,是

其球多极展开所得到的系数称为,球多极矩,例如,电势,磁向量势,重力势等等,都是这种位势,点电荷案例,给予在源位置,的电荷分布,计算在场位置,产生的电势,源位置为,的点电荷,其电势,在场位置,其中,是电常数,之间的夹角,假设,场位置比源位置离原点更远,则此距离倒数函数,的幂和勒壤得多项式展开为,应用球余弦定律,表示为,应用球谐函数加法定理,又表示为,其中,是球谐函数,将这方程式代入电势的方程式,可以得到,点电荷的,球多极矩,定义为,则电势的方程式又可写为,假设,场位置比源位置离原点更近,则此距离倒数函数,可以以,的幂和勒壤得多项式展开,点电荷的,内部球多极矩,前述的球多极矩称为外部球多极矩,定义为,则电势的方程式写为,电荷密度案例,将点电荷,改换为微小电荷元素,然后积分,则可得到电势的方程式,假设,其中,电荷密度分布的球多极矩定义为,是积分体积,特别注意,由于电势,为实值,然而,项目,而不是其复共轭数,在某些领域,例如物理化学,这是一般常规,更详尽资料,请参阅条目分子多极矩,内部球多极矩,类似地,假设,场位置比源位置离原点更近,则电势的方程式为,其中,两个球多极矩之间的相互作用能,两个互不重叠,设定第一个电荷分布,在第二个电荷分布,的内部,则由,所产生的电势,因为作用于,而涉及的相互作用能,电势,可以以外部球多极矩展开为,其中,是第一个电荷分布的,外部球多极矩,将这方程式代入相互作用能,的方程式,可以得到,注意到其积分项目等于,的内部球多极矩,的复共轭数,相互作用能,的方程式约化为简单形式,这方程式可以用来计算,反过来,则可以计算原子核的外部球多极矩,从而得知其形状,轴对称特别案例,假设电荷密度为,轴对称,即与方位角,无关,则球多极展开式的形式很简单,的定义式内,对于,积分,则可以发觉除了,球多极矩以外,其它球多极矩都等于零,应用数学恒等式,轴对称球多极矩定义为,则外部球多极展开式为,类似地,轴对称内部球多极矩定义为,内部球多极展开式为,球多极矩的表达式,注意到,以及与笛卡儿多极矩之间的关系,其中,是笛卡儿电偶极矩,是笛卡儿电四极矩,参阅,立体调和函数,圆柱多极矩,参考文献,外部连结

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