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重言1形式

2019年08月01日 百科 暂无评论
摘要:

重言1形式\n\n在数学中,重言1-形式()是流形\”Q\”的余切丛formula_1上一个特殊的1-形式。这个形式的外导数定义了一个辛形式给出了formula_1的辛流形结构。重言1-形式在哈密顿力学与拉格朗日力学的形式化中

重言1形式\n\n在数学中,重言 1-形式()是流形 \"Q\" 的余切丛 formula_1 上一个特殊的 1-形式。这个形式的外导数定义了一个辛形式给出了 formula_1 的辛流形结构。重言 1-形式在哈密顿力学与拉格朗日力学的形式化中起着重要的作用。重言 1-形式有时也称为刘维尔 1-形式,典范 1-形式,或者辛势能。一个类似的对象是切丛上的典范向量场。\n\n在典范坐标中,重言 1-形式由下式给出:\n\n在差一个全微分(恰当形式)的意义下,相空间中的任何“保持”典范 1-形式结构的坐标系,可以称之为典范坐标;不同典范坐标之间的变换称为典范变换。\n\n典范辛形式由\n\n给出。\n重言 1-形式可以相当抽象地定义为相空间上一个 1-形式。设 formula_5 是一个流形,formula_6 是其余切空间或者说相空间。设\n\n是典范纤维丛投影,令\n\n是 formula_9 诱导的前推。设 \"m\" 是 \"M\" 上一点,然而因为 \"M\" 是余切丛,我们可将 \"m\" 理解为切空间上一个函数,在 formula_10 点为:\n\n这样,我们便有 \"m\" 是在 \"q\" 点的纤维中。重言 1-形式 formula_12 在点 \"m\" 定义为\n\n这是一个线性函数\n\n所以\n\n是流形 formula_6 上一个 1-形式。不难验证这种定义和上一节局部坐标的定义是相同的。\n\n重言 1-形式是惟一“消去”拉回的 1-形式。这便是说:若\n\n是 \"Q\" 上任意一个 1-形式,而 formula_18 是其拉回。那么\n\n以及\n\n这些都可以用上一节的定义直接得到,如果写成局部坐标的形式就最好理解:\n\n如果 \"H\" 是余切丛上一个哈密顿向量场,而 formula_22 是其哈密顿流,那么相应的作用量 \"S\" 为\n\n用普通的方式表述,哈密顿流代表了一个力学系统在哈密顿-雅可比方程限制下的轨道。哈密顿流是哈密顿向量场的积分曲线,所以我们用作用量-角度坐标传统记法:\n\n这里积分理解为在流形上的维持能量 formula_25 为常数 formula_26 的子集上进行。\n\n如果流形 \"Q\" 有一个黎曼或者伪黎曼度量 \"g\",那么相应的定义可以用广义坐标写出。特别地,如果我们取度量为映射\n\n这样便定义了\n\n和\n\n在 \"TQ\" 上的广义坐标中 formula_30 ,我们有\n\n以及\n\n度量使我们可定义 formula_33 上的一个单位半径球面(丛)。典范 1-形式限制到这些球面上组成了一个切触结构;这个切触结构可以用来生成关于这个度量的测地流。\n\n\n"}

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