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离散小波变换

2019年08月01日 百科 暂无评论
摘要:

离散小波变换\n\n离散小波变换(DiscreteWaveletTransform)在数值分析和时频分析中很有用。第一个离散小波变换由匈牙利数学家发明,离散小波转换顾名思义就是离散的输入以及离散的输出,但是这里并没有一个简单而明确的公式来表示输入及输出的关系,只能以阶层式架构来表示。\n\n\n

离散小波变换\n\n离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)在数值分析和时频分析中很有用。第一个离散小波变换由匈牙利数学家发明,离散小波转换顾名思义就是离散的输入以及离散的输出,但是这里并没有一个简单而明确的公式来表示输入及输出的关系,只能以阶层式架构来表示。\n\n\n架构中的第formula_10层(formula_11 stage)\n以下根据上述2-D DWT的步骤,对一张影像作二维离散小波转换(2D Discrete Wavelet Transform)\n\n在讨论复杂度之前,先做一些定义,当x[n]*y[n]时,x[n]之长度为N,y[n]之长度为L:\nformula_24\n\n其中,\n\nformula_25为(N+L-1)点离散傅立叶反转换(inverse discrete Fourier transform)\n\nformula_26为(N+L-1)点离散傅立叶转换(discrete Fourier transform)\n\n(1)一维离散小波转换之复杂度(没有分段卷积(sectioned convolution)):\n\nformula_27\n\n(2)当 N ?> L 时,使用 “分段卷积(sectioned convolution)”的技巧:\n\n将x[n]切成很多段,每段长度为formula_28,总共会有formula_29段,其中formula_30。\n\n则\n\nformula_31\n\nformula_32\n\n复杂度为:\n\nformula_33\n\n在这里要注意的是,当N?L时,一维离散小波转换之复杂度是呈线性的(随N),formula_34。\n\n(3)多层(Multiple stages )的情况下:\n\n1.若formula_35不再分解时:\n\nformula_36\n\n2.若formula_35也细分时:\n\nformula_38\n\n(4)二维离散小波转换之复杂度(没有分段卷积(sectioned convolution)):\nformula_39\n\n上式中,第一部分需要M个一维离散小波转换并且每个一维离散小波转换的输入有N个点;第二部分需要N+L-1个一维离散小波转换并且每个一维离散小波转换的输入有M个点。\n\nformula_40\n\n(5)二维离散小波转换之复杂度,使用 “分段卷积(sectioned convolution)”的技巧:\n\n假设原始尺寸为formula_41,则每一小部分的尺寸为formula_42\n\nformula_43\n\n所以若是使用分段折积,则二维离散小波转换之复杂度是呈线性的(随MN),formula_44。\n\n(6)多层(Multiple stages )与二维的情况下:\n\n首先x[m,n]的尺寸为formula_41,\n\n1.若formula_46不细分,只细分formula_47时,总复杂度为:\n\nformula_48\n\n2.若formula_46也细分时,总复杂度为:\n\nformula_50\n\n使用离散小波转换,将讯号个别通过一个低通滤波器和一个高通滤波器,得到讯号的高低频成分,而在重建()原始讯号的过程,也就是离散小波的逆转换(Inverse Descrete Wavelet Transform. IDWT),直观而言,我们仅是需要将离散小波转换做重建滤波即可得到原始输入信号,以下将推导重建滤波器,也就是IDWT高低通滤波器的构成要件,以及如何来重建原始信号。\n\n使用Z转换:\n\n\n formula_64\n\n formula_67\n\n若要完整重建,则formula_69\n\n因此,在设计高低通重建滤波器时,需要考虑上述条件,写成矩阵形式如下:\n\n1.DWT通滤波器 formula_52,formula_54必须要是有限长度。\n\n2.满足formula_54是高通滤波器(high pass filter),formula_52是低通滤波器(low pass filter)。\n\n3.满足完整重建要条件,formula_72,其中 formula_73\n\n4.若formula_52,formula_54为有限长度,则formula_82 ,且 formula_83 为奇数。\n\n1.Quadrature Mirror Filter(QMF)\nformula_85 formula_86\nformula_85 formula_89\nformula_85 formula_92\n\nformula_93,且 formula_83 为奇数。\n\n2.Orthonormal Wavelet\nformula_85 formula_97\nformula_85 formula_100\nformula_85 formula_103\n\nformula_93,且 formula_83 为奇数。\n\n多数的wavelet属于orthonormal wavelet。\n\n压缩、去除杂讯:使用低通滤波器,将小波转换的高频滤掉,即保留formula_106而将其他部分舍弃。\n\n"}

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