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旋转群

2019年08月01日 百科 暂无评论
摘要:

旋转群\n\n在经典力学与几何学里,所有环绕著三维欧几里得空间的原点的旋转,组成的群,定义为旋转群。根据定义,环绕著原点的旋转是一个保持向量长度,保持空间取向(遵守右手定则或左手定则)的线性变换。\n\n两个旋转的复合等于一个旋转。每一个旋转都有一个独特的逆旋转;零角度的旋转是单位元。旋转运算满足结合律.由于符合上

旋转群\n\n在经典力学与几何学里,所有环绕著三维欧几里得空间的原点的旋转,组成的群,定义为旋转群。根据定义,环绕著原点的旋转是一个保持向量长度,保持空间取向(遵守右手定则或左手定则)的线性变换。\n\n两个旋转的复合等于一个旋转。每一个旋转都有一个独特的逆旋转;零角度的旋转是单位元。旋转运算满足结合律.由于符合上述四个要求,所有旋转的集合是一个群。更加地,旋转群拥有一个天然的流形结构。对于这流形结构,旋转群的运算是光滑的;所以,它是一个李群。旋转群时常会用 SO(3) 来表示。\n\n除了保持长度(保长),旋转也保持向量间的角度(保角)。原因是两向量u和v的内积可写作:\n\nR中的保长转换保持了纯量内积值不变,也因此保持了向量间的角度。包括SO(3)在内的一般性情形,参见古典群。\n\n三维空间中非平凡的旋转,皆绕著一个固定的「旋转轴」,此旋转轴是R的特定一维线性子空间(参见:欧拉旋转定理)。旋转作用在与旋转轴正交的二维平面,如同寻常的二维旋转。既然二维旋转皆可以旋转角φ表示,则任意三维旋转则可用旋转轴搭配旋转角来表示。\n\n举例来说,绕著正\"z\"轴旋转φ角的逆时针旋转为\n\n给定R中一单位向量n以及角度φ,设\"R\"(φ,?n)代表绕n轴作角度φ的逆时针旋转,则:\n\n利用这些特性,参数为旋转角φ(范围: 0 ≤ φ ≤ π)与单位向量n的任意旋转有如下性质:\n\nSO(3)中只有很少的几个有限子群,且它们全部是熟悉的对称群,包括有:\n\n"}

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