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矩阵乘法

2019年07月01日 百科 暂无评论
摘要:

矩阵乘法\n\n数学中,矩阵乘法()是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算,第三个矩阵即前两者的乘积,称为矩阵积()。设是的矩阵,是的矩阵,则它们的矩阵积是的矩阵。中每一行的个元素都与中对应列的个元素对应相乘,这些乘积的和就是中的一个元素。\n\n矩阵可以用来表示线性映射,矩阵积则可以用

矩阵乘法\n\n数学中,矩阵乘法()是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算,第三个矩阵即前两者的乘积,称为矩阵积()。设 是 的矩阵, 是 的矩阵,则它们的矩阵积 是 的矩阵。 中每一行的 个元素都与 中对应列的 个元素对应相乘,这些乘积的和就是 中的一个元素。\n\n矩阵可以用来表示线性映射,矩阵积则可以用来表示线性映射的复合。因此,矩阵乘法是线性代数的基础工具,不仅在数学中有大量应用,在应用数学、物理学、工程学等领域也有广泛使用。\n\n矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的和第二个矩阵的相同时才有定义。一般单指矩阵乘积时,指的便是一般矩阵乘积。若\A\为formula_1矩阵,\B\为formula_2矩阵,则他们的乘积\AB\(有时记做\A\ · \B\)会是一个formula_3矩阵。其乘积矩阵的元素如下面式子得出:\n\n以上是用矩阵单元的代数系统来说明这类乘法的抽象性质。本节以下各种运算法都是这个公式的不同角度理解,运算结果相等:\n\n左边的图表示出要如何计算\AB\的(1,2)和(3,3)元素,当\A\是个4×2矩阵和\B\是个2×3矩阵时。分别来自两个矩阵的元素都依箭头方向而两两配对,把每一对中的两个元素相乘,再把这些乘积加总起来,最后得到的值即为箭头相交位置的值。\n\n这种矩阵乘积亦可由稍微不同的观点来思考:把向量和各系数相乘后相加起来。设A和B是两个给定如下的矩阵:\n\n则\n\n举个例子来说:\n\n左面矩阵的列为为系数表,右边矩阵为向量表。例如,第一行是[1?0?2],因此将1乘上第一个向量,0乘上第二个向量,2则乘上第三个向量。\n\n一般矩阵乘积也可以想为是行向量和列向量的内积。若A和B为给定如下的矩阵:\n\n其中\n\n则\n\n矩阵乘法是不可交换的(即\AB\ ≠ \BA\),除了一些较特别的情况。很清楚可以知道,不可能预期说在改变向量的部份后还能得到相同的结果,而且第一个矩阵的列数必须要和第二个矩阵的行数相同,也可以看出为什么矩阵相乘的顺序会影响其结果。\n\n虽然矩阵乘法是不可交换的,但\AB\和\BA\的行列式总会是一样的(当\A\、\B\是同样大小的方阵时)。其解释在行列式条目内。\n\n当\A\、\B\可以被解释为线性算子,其矩阵乘积\AB\会对应为两个线性算子的复合函数,其中\B\先做用。\n\n以上步骤可参见MMULT函数引数视窗里的「函数说明」。\n\n矩阵\A\ =(\a\)和纯量\r\的纯量乘积\rA\的矩阵大小和\A\一样,\rA\的各元素定义如下:\n\n若我们考虑于一个环的矩阵时,上述的乘积有时会称做\左乘积\,而\右乘积\的则定义为\n\n当环是可交换时,例如实数体或复数体,这两个乘积是相同的。但无论如何,若环是不可交换的话,如四元数,他们可能会是不同的。例如,\n\n给定两个相同维度的矩阵,我们有阿达马乘积,或称做分素乘积(entrywise product)。两个\m×n\矩阵\A\、\B\的阿达马乘积标记为formula_21,为一定义为\nformula_22的\m×n\矩阵。例如,\n\n需注意的是,阿达马乘积是克罗内克乘积的子矩阵。\n\n给定任两个矩阵formula_24和formula_25,我们可以得到两个矩阵的直积,或称为克罗内克乘积formula_26,其定义如下\n\n当formula_24是一formula_1矩阵和formula_25是一formula_31矩阵时,formula_26会是一formula_33矩阵,而且此一乘积也是不可交换的。\n\n举个例子,\n\n若\A\和\B\分别表示两个线性算子\V\ → \W\和\V\ → \W\,\A?B\便为其映射的张量乘积,\V\ ? \V\ → \W\ ? \W\.\n\n上述三种乘积都符合结合律:\n以及分配律:\n而且和纯量乘积相容:\n注意上述三个分开的表示式只有在纯量体的乘法及加法是可交换(即纯量体为一可交换环)时会相同。\n\n\n\n\n其它参考文献包括:\n\n}

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